이항 확률 분포(Binomial Distribution)와 친구들
28 Nov 2020 | Statistics
이 게시물은 부산대학교 김충락 교수님의 수리통계학 강의를 참고하여 작성하였습니다.
Binomial Distribution
이번 시간에는 이항 분포(Binomial distribution)와 그와 관련된 분포들에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 아래 이미지에서 빨간색 박스가 쳐진 4가지 분포에 대해서 알아보겠습니다.
Bernoulli Trial
먼저 베르누이 시행(Bernoulli trial)에 대해서 알아보겠습니다. 베르누이 시행이란 다음의 세 가지 조건을 만족하는 실험입니다.
- 베르누이 시행의 결과는 성공(Success)과 실패(Failure) ${S,F}$ 의 두 가지로 나타납니다.
- 두 번째로 각 시행은 서로 독립(independent)입니다.
- 성공 확률 $P(S)$ 이 일정(Constant)합니다.
예를 들면, 동전을 던져서 앞면이 나오는 경우를 성공이라고 하는 경우가 있습니다. 성공과 실패 이외에 다른 결과가 나오지 않고 매 시행이 독립이며 성공 확률이 변하지 않으므로 베르누이 시도입니다. 비슷한 예시로, 주사위를 던져서 3이상의 눈이 나오는 경우를 성공이라고 정의한다면 베르누이 시행이 됩니다.
한 번의 베르누이 시행은 $B(1,p)$ 로 나타냅니다. 괄호 안의 숫자 중 앞에 있는 것은 베르누이 시행의 횟수이며 뒤에 해당하는 $p$ 는 성공 확률 $P(S)$ 입니다. 베르누이 시행에서 성공과 실패를 나타내는 확률 변수 $X$ 에 대한 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.
\[P_X(x) = p^x(1-p)^{1-x} \qquad I(x = 0,1)\]
확률 질량 함수로부터 베르누이 시행의 기댓값과 분산을 구할 수 있습니다.
\[\begin{align}
E(X) &= \sum_{x=0}^1 x \cdot P_X(x) \\
&= \sum_{x=0}^1 x \cdot p^x(1-p)^{1-x} \\
&= 0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^1 + 1 \cdot p^1 \cdot (1-p)^0 = p
\end{align}\]
분산은 $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ 를 활용하여 구할 수 있습니다.
\[\begin{align}
Var(X) &= E(X^2) - [E(X)]^2 \\
&= \sum_{x=0}^1 x^2 \cdot p^x(1-p)^{1-x} - p^2 \\
&= \sum_{x=0}^1 x^2 \cdot p^x(1-p)^{1-x} - p^2 \\
&= 0 \cdot p^0(1-p)^1 + 1 \cdot p^1(1-p)^0 - p^2 \\
&= p - p^2 = p(1-p)
\end{align}\]
Binomial Distribution
다음으로 이항 분포에 대해서 알아보겠습니다. 이항 분포는 베르누이 시행을 여러 번 진행했을 때 성공 횟수를 나타내는 확률 변수에 대한 분포입니다. 각 베르누이 시행을 $Y_1, \cdots, Y_n \quad (Y = 0,1)$ 이라 두고 성공 횟수의 합을 확률 변수 $X$, 즉 $X := \sum^n_{i=1} Y_i$ 이라 하고 $X$ 의 확률 질량 함수를 구해보겠습니다.
\[P_X(x) = \left(\begin{array}{ccc} n \\ x\end{array} \right) p^x(1-p)^{n-x}\]
이항 분포는 $X \sim B(n,p)$ 로 표기할 수 있으며 확률 질량 함수를 알았으니, 이를 활용하여 적률 생성 함수를 구할 수 있습니다.
\[\begin{align}
M_X(t) &= E(e^{tX}) \\
&= \sum^n_{x=0} e^{tx} \cdot P_X(x) \\
&= \sum^n_{x=0} e^{tx} \cdot \left(\begin{array}{ccc} n \\ x\end{array} \right) p^x(1-p)^{n-x} \\
&= \sum^n_{x=0} \left(\begin{array}{ccc} n \\ x\end{array} \right) (p\cdot e^t)^x(1-p)^{n-x} \\
&= [(1-p) + p\cdot e^t]^n
\end{align}\]
적률 생성 함수를 활용하여 이항 분포의 기댓값과 분산도 구해볼 수 있습니다. 먼저 기댓값 $E(X)$ 은 1차 모멘트와 같고, 이는 적률 생성 함수를 한 번 미분한 함수에 $0$ 을 대입하여 구할 수 있으므로 아래와 같습니다. 계산 과정은 생략하겠습니다.
\[\begin{align}
M^\prime(t) &= np\cdot e^t \cdot [(1-p) + p\cdot e^t]^{n-1} \\
\therefore M^\prime(0) &= np = E(X)
\end{align}\]
분산을 구하기 위해서는 2차 모멘트 $E(X^2)$ 를 알아야 합니다. 2차 모멘트는 적률 생성 함수를 2번 미분한 함수에 $0$ 을 대입하여 구할 수 있습니다.
\[\begin{align}
M^{\prime\prime}(t) &= np\cdot e^t \cdot [(1-p) + p\cdot e^t]^{n-2}(np\cdot e^t+1-p) \\
M^{\prime\prime}(0) &= np(np+1-p) = E(X^2)
\end{align}\]
분산 $Var(X)$ 는 1,2차 모멘트의 결합인 $Var(X) = E(X^2) - E(X)^2$ 로 나타낼 수 있으므로 아래와 같이 구해집니다.
\[\begin{align}
Var(X) &= E(X^2) - E(X)^2 \\
&= np(np+1-p) - (np)^2 \\
&= np(1-p)
\end{align}\]
Theorem
다음은 이항 분포에서 성립하는 정리에 대해서 알아보겠습니다. 이항 분포를 만족하는 확률 변수 $Y$ 에 대해서 다음의 식이 만족합니다.
\[\text{if} \quad n \rightarrow \infty, \quad
P\bigg[\bigg\vert \frac{Y}{n} - p \bigg\vert \geq \varepsilon \bigg] \rightarrow 0\]
위 식에서 $Y$ 는 $n$ 번의 베르누이 시행 중에서 성공한 횟수이므로 $\frac{Y}{n}$ 은 표본 사건의 성공 비율이라고 할 수 있습니다. $p$ 는 모집단에서 베르누이 시행의 성공 확률입니다. 따라서 위 정리는 표본의 개수가 많아질 때 표본 사건의 성공 비율과 모집단의 성공 비율의 차이가 $0$ 에 가까워진다는 것이지요. 위 정리를 약대수의 법칙(Weak Law of Large Numbers, WLLN) 이라고 합니다. 그리고 아래와 같이 체비쇼프 부등식(Chebyshev inequality)으로부터 증명할 수 있습니다.
체비쇼프 부등식은 $E(X) = \mu, Var(X) = \sigma^2$ 인 확률 변수 $X$ 에 대하여 아래와 같습니다.
\[P(\vert X - \mu \vert \geq k \cdot \sigma) \leq \frac{1}{k^2}\]
정리에서 나타나는 식을 체비쇼프 부등식의 형태로 변형시켜 보겠습니다. $E(Y) = np, Var(Y) = np(1-p)$ 이므로 아래와 같이 식을 변형하여 $k$ 를 구할 수 있습니다.
\[\begin{align}
P\bigg[\bigg\vert \frac{Y}{n} - p \bigg\vert \geq \varepsilon \bigg] &= P\bigg[\bigg\vert Y - np \bigg\vert \geq n\varepsilon \bigg] \\
&= P\bigg[\bigg\vert Y - np \bigg\vert \geq \frac{n\varepsilon}{\sqrt{np(1-p)}} \cdot \sqrt{np(1-p)} \bigg] \\
\therefore k &= \sqrt{\frac{n}{p(1-p)}} \cdot \varepsilon
\end{align}\]
$k$ 를 구했으니 체비쇼프 부등식을 활용하여 확률의 범위를 제한할 수 있습니다.
\[P\bigg[\bigg\vert \frac{Y}{n} - p \bigg\vert \geq \varepsilon \bigg] \leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\]
위 식에서 $p, \varepsilon$ 은 상수이므로 $n$ 이 커질수록 확률 $P$ 는 0으로 수렴하게 됩니다.
Negative Binomial Distribution
이번에는 이항 분포와 같이 여러 번의 베르누이 시행에서 도출할 수 있는 음이항 분포(Negative binomial distribution)에 대해 알아보겠습니다. 음이항 분포란 연속적인 베르누이 시행에서 $r$ 번의 성공을 달성하기 까지 몇 번의 실패가 있어야 하는 지에 대한 분포입니다. 일반적인 이항 분포에서는 성공 횟수를 다루었다면 음이항 분포는 실패 횟수를 다룬다는 차이점이 있습니다.
중요한 것은 $r$ 번째의 성공은 가장 마지막에 위치해야 한다는 점입니다. 따라서 확률 질량 함수를 구하기 위해서 $y+r-1$ 번의 시도 중 실패 횟수가 $y$ 이고 성공 횟수가 $r-1$ 인 이항 분포를 구한 뒤, 마지막으로 성공한 베르누이 시행을 곱합니다. 확률 질량 함수는 아래와 같이 구할 수 있습니다. $Y \sim NB(r,p)$ 로 표기합니다.
\[\begin{align}
P_Y(y) &= \left(\begin{array}{ccc} y+r-1 \\ y\end{array} \right) p^{r-1}(1-p)^y \cdot p \\
\therefore P_Y(y) &= \left(\begin{array}{ccc} y+r-1 \\ y\end{array} \right) p^r(1-p)^y
\end{align}\]
확률 질량 함수를 구했으니 적률 생성 함수를 구할 수 있습니다. 이항 분포와 달리 음이항 분포는 횟수가 정해진 것이 아니므로, 실패 횟수를 나타내는 확률 변수 $Y$ 가 가질 수 있는 범위는 $Y = 0,1,2, \cdots$ 라는 점에 유의합니다.
\[\begin{align}
M_Y(t) &= E[e^{tY}] \\
&= \sum^\infty_{y=0} e^{ty} \cdot \left(\begin{array}{ccc} y+r-1 \\ y\end{array} \right) p^r(1-p)^y \\
&= p^r \cdot \sum^\infty_{y=0} \left(\begin{array}{ccc} y+r-1 \\ y\end{array} \right) [(1-p)e^t]^y \\
&= p^r \cdot \sum^\infty_{y=0} \frac{(y+r-1)!}{y!(r-1)!} [(1-p)e^t]^y \\
&= p^r \cdot \bigg(1 + r \cdot [(1-p)e^t] + \frac{r(r+1)}{2}[(1-p)e^t]^2 + \cdots \bigg) \\
&= p^r \cdot \bigg(1 + r \cdot T + \frac{r(r+1)}{2}T^2 + \cdots \bigg) \quad T := (1-p)e^t
\end{align}\]
식이 상당히 복잡합니다. 식을 간단하게 정리하기 위해서 $g(t) = (1-t)^{-r}$ 이라는 함수를 생각해보겠습니다. 이 함수를 테일러 급수를 이용하여 전개하면 위와 동일한 형태의 식이 나오게 됩니다.
\[\begin{align}
g(t) &= g(0) + g^\prime(0) \cdot t + \frac{g^{\prime\prime}(0)}{2} \cdot t^2 + \cdots \\
&= 1 + r \cdot t + \frac{r(r+1)}{2} \cdot t^2 + \cdots
\end{align}\]
이를 이용하면 적률 생성 함수를 간단히 정리할 수 있게 됩니다.
\[M_Y(t) = p^r \cdot [1-(1-p)e^t]^{-r}\]
이를 활용하여 음이항 분포 $NB(r,p)$ 의 기댓값과 분산을 구하면 아래와 같습니다.
\[\begin{align}
E(Y) &= M_Y^\prime(0) = \frac{r(1-p)}{p} \\
Var(Y) &= M_Y^{\prime\prime}(0) - M_Y^\prime(0)^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}
\end{align}\]
Geometric Distribution
기하 분포(Geometric distribution)는 음이항 분포의 특수한 형태입니다. 첫 번째 성공이 있을 때까지 몇 번의 실패가 있을 지를 구하는 문제이지요. 음이항 분포에서 성공 횟수를 나타내는 $r$ 이 1인 형태, 즉 $NB(1,p)$ 라고 할 수 있겠습니다. $r$ 이 1로 고정되기 때문에 파라미터는 오직 $p$ 하나가 됩니다. 따라서, 기하 분포는 $G(p)$ 또는 $Geo(p)$ 로 나타낼 수 있습니다.
확률 질량 함수와 적률 생성 함수도 음이항 분포의 것을 활용하여 구할 수 있습니다.
\[\begin{aligned}
P_Y(y) &= p\cdot (1-p)^y \\
M_Y(t) &= \frac{p}{1-(1-p)e^t}
\end{aligned}\]
이 게시물은 부산대학교 김충락 교수님의 수리통계학 강의를 참고하여 작성하였습니다.
Binomial Distribution
이번 시간에는 이항 분포(Binomial distribution)와 그와 관련된 분포들에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 아래 이미지에서 빨간색 박스가 쳐진 4가지 분포에 대해서 알아보겠습니다.
Bernoulli Trial
먼저 베르누이 시행(Bernoulli trial)에 대해서 알아보겠습니다. 베르누이 시행이란 다음의 세 가지 조건을 만족하는 실험입니다.
- 베르누이 시행의 결과는 성공(Success)과 실패(Failure) ${S,F}$ 의 두 가지로 나타납니다.
- 두 번째로 각 시행은 서로 독립(independent)입니다.
- 성공 확률 $P(S)$ 이 일정(Constant)합니다.
예를 들면, 동전을 던져서 앞면이 나오는 경우를 성공이라고 하는 경우가 있습니다. 성공과 실패 이외에 다른 결과가 나오지 않고 매 시행이 독립이며 성공 확률이 변하지 않으므로 베르누이 시도입니다. 비슷한 예시로, 주사위를 던져서 3이상의 눈이 나오는 경우를 성공이라고 정의한다면 베르누이 시행이 됩니다.
한 번의 베르누이 시행은 $B(1,p)$ 로 나타냅니다. 괄호 안의 숫자 중 앞에 있는 것은 베르누이 시행의 횟수이며 뒤에 해당하는 $p$ 는 성공 확률 $P(S)$ 입니다. 베르누이 시행에서 성공과 실패를 나타내는 확률 변수 $X$ 에 대한 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.
\[P_X(x) = p^x(1-p)^{1-x} \qquad I(x = 0,1)\]확률 질량 함수로부터 베르누이 시행의 기댓값과 분산을 구할 수 있습니다.
\[\begin{align} E(X) &= \sum_{x=0}^1 x \cdot P_X(x) \\ &= \sum_{x=0}^1 x \cdot p^x(1-p)^{1-x} \\ &= 0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^1 + 1 \cdot p^1 \cdot (1-p)^0 = p \end{align}\]분산은 $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ 를 활용하여 구할 수 있습니다.
\[\begin{align} Var(X) &= E(X^2) - [E(X)]^2 \\ &= \sum_{x=0}^1 x^2 \cdot p^x(1-p)^{1-x} - p^2 \\ &= \sum_{x=0}^1 x^2 \cdot p^x(1-p)^{1-x} - p^2 \\ &= 0 \cdot p^0(1-p)^1 + 1 \cdot p^1(1-p)^0 - p^2 \\ &= p - p^2 = p(1-p) \end{align}\]Binomial Distribution
다음으로 이항 분포에 대해서 알아보겠습니다. 이항 분포는 베르누이 시행을 여러 번 진행했을 때 성공 횟수를 나타내는 확률 변수에 대한 분포입니다. 각 베르누이 시행을 $Y_1, \cdots, Y_n \quad (Y = 0,1)$ 이라 두고 성공 횟수의 합을 확률 변수 $X$, 즉 $X := \sum^n_{i=1} Y_i$ 이라 하고 $X$ 의 확률 질량 함수를 구해보겠습니다.
\[P_X(x) = \left(\begin{array}{ccc} n \\ x\end{array} \right) p^x(1-p)^{n-x}\]이항 분포는 $X \sim B(n,p)$ 로 표기할 수 있으며 확률 질량 함수를 알았으니, 이를 활용하여 적률 생성 함수를 구할 수 있습니다.
\[\begin{align} M_X(t) &= E(e^{tX}) \\ &= \sum^n_{x=0} e^{tx} \cdot P_X(x) \\ &= \sum^n_{x=0} e^{tx} \cdot \left(\begin{array}{ccc} n \\ x\end{array} \right) p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \sum^n_{x=0} \left(\begin{array}{ccc} n \\ x\end{array} \right) (p\cdot e^t)^x(1-p)^{n-x} \\ &= [(1-p) + p\cdot e^t]^n \end{align}\]적률 생성 함수를 활용하여 이항 분포의 기댓값과 분산도 구해볼 수 있습니다. 먼저 기댓값 $E(X)$ 은 1차 모멘트와 같고, 이는 적률 생성 함수를 한 번 미분한 함수에 $0$ 을 대입하여 구할 수 있으므로 아래와 같습니다. 계산 과정은 생략하겠습니다.
\[\begin{align} M^\prime(t) &= np\cdot e^t \cdot [(1-p) + p\cdot e^t]^{n-1} \\ \therefore M^\prime(0) &= np = E(X) \end{align}\]분산을 구하기 위해서는 2차 모멘트 $E(X^2)$ 를 알아야 합니다. 2차 모멘트는 적률 생성 함수를 2번 미분한 함수에 $0$ 을 대입하여 구할 수 있습니다.
\[\begin{align} M^{\prime\prime}(t) &= np\cdot e^t \cdot [(1-p) + p\cdot e^t]^{n-2}(np\cdot e^t+1-p) \\ M^{\prime\prime}(0) &= np(np+1-p) = E(X^2) \end{align}\]분산 $Var(X)$ 는 1,2차 모멘트의 결합인 $Var(X) = E(X^2) - E(X)^2$ 로 나타낼 수 있으므로 아래와 같이 구해집니다.
\[\begin{align} Var(X) &= E(X^2) - E(X)^2 \\ &= np(np+1-p) - (np)^2 \\ &= np(1-p) \end{align}\]Theorem
다음은 이항 분포에서 성립하는 정리에 대해서 알아보겠습니다. 이항 분포를 만족하는 확률 변수 $Y$ 에 대해서 다음의 식이 만족합니다.
\[\text{if} \quad n \rightarrow \infty, \quad P\bigg[\bigg\vert \frac{Y}{n} - p \bigg\vert \geq \varepsilon \bigg] \rightarrow 0\]위 식에서 $Y$ 는 $n$ 번의 베르누이 시행 중에서 성공한 횟수이므로 $\frac{Y}{n}$ 은 표본 사건의 성공 비율이라고 할 수 있습니다. $p$ 는 모집단에서 베르누이 시행의 성공 확률입니다. 따라서 위 정리는 표본의 개수가 많아질 때 표본 사건의 성공 비율과 모집단의 성공 비율의 차이가 $0$ 에 가까워진다는 것이지요. 위 정리를 약대수의 법칙(Weak Law of Large Numbers, WLLN) 이라고 합니다. 그리고 아래와 같이 체비쇼프 부등식(Chebyshev inequality)으로부터 증명할 수 있습니다.
체비쇼프 부등식은 $E(X) = \mu, Var(X) = \sigma^2$ 인 확률 변수 $X$ 에 대하여 아래와 같습니다.
\[P(\vert X - \mu \vert \geq k \cdot \sigma) \leq \frac{1}{k^2}\]정리에서 나타나는 식을 체비쇼프 부등식의 형태로 변형시켜 보겠습니다. $E(Y) = np, Var(Y) = np(1-p)$ 이므로 아래와 같이 식을 변형하여 $k$ 를 구할 수 있습니다.
\[\begin{align} P\bigg[\bigg\vert \frac{Y}{n} - p \bigg\vert \geq \varepsilon \bigg] &= P\bigg[\bigg\vert Y - np \bigg\vert \geq n\varepsilon \bigg] \\ &= P\bigg[\bigg\vert Y - np \bigg\vert \geq \frac{n\varepsilon}{\sqrt{np(1-p)}} \cdot \sqrt{np(1-p)} \bigg] \\ \therefore k &= \sqrt{\frac{n}{p(1-p)}} \cdot \varepsilon \end{align}\]$k$ 를 구했으니 체비쇼프 부등식을 활용하여 확률의 범위를 제한할 수 있습니다.
\[P\bigg[\bigg\vert \frac{Y}{n} - p \bigg\vert \geq \varepsilon \bigg] \leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\]위 식에서 $p, \varepsilon$ 은 상수이므로 $n$ 이 커질수록 확률 $P$ 는 0으로 수렴하게 됩니다.
Negative Binomial Distribution
이번에는 이항 분포와 같이 여러 번의 베르누이 시행에서 도출할 수 있는 음이항 분포(Negative binomial distribution)에 대해 알아보겠습니다. 음이항 분포란 연속적인 베르누이 시행에서 $r$ 번의 성공을 달성하기 까지 몇 번의 실패가 있어야 하는 지에 대한 분포입니다. 일반적인 이항 분포에서는 성공 횟수를 다루었다면 음이항 분포는 실패 횟수를 다룬다는 차이점이 있습니다.
중요한 것은 $r$ 번째의 성공은 가장 마지막에 위치해야 한다는 점입니다. 따라서 확률 질량 함수를 구하기 위해서 $y+r-1$ 번의 시도 중 실패 횟수가 $y$ 이고 성공 횟수가 $r-1$ 인 이항 분포를 구한 뒤, 마지막으로 성공한 베르누이 시행을 곱합니다. 확률 질량 함수는 아래와 같이 구할 수 있습니다. $Y \sim NB(r,p)$ 로 표기합니다.
\[\begin{align} P_Y(y) &= \left(\begin{array}{ccc} y+r-1 \\ y\end{array} \right) p^{r-1}(1-p)^y \cdot p \\ \therefore P_Y(y) &= \left(\begin{array}{ccc} y+r-1 \\ y\end{array} \right) p^r(1-p)^y \end{align}\]확률 질량 함수를 구했으니 적률 생성 함수를 구할 수 있습니다. 이항 분포와 달리 음이항 분포는 횟수가 정해진 것이 아니므로, 실패 횟수를 나타내는 확률 변수 $Y$ 가 가질 수 있는 범위는 $Y = 0,1,2, \cdots$ 라는 점에 유의합니다.
\[\begin{align} M_Y(t) &= E[e^{tY}] \\ &= \sum^\infty_{y=0} e^{ty} \cdot \left(\begin{array}{ccc} y+r-1 \\ y\end{array} \right) p^r(1-p)^y \\ &= p^r \cdot \sum^\infty_{y=0} \left(\begin{array}{ccc} y+r-1 \\ y\end{array} \right) [(1-p)e^t]^y \\ &= p^r \cdot \sum^\infty_{y=0} \frac{(y+r-1)!}{y!(r-1)!} [(1-p)e^t]^y \\ &= p^r \cdot \bigg(1 + r \cdot [(1-p)e^t] + \frac{r(r+1)}{2}[(1-p)e^t]^2 + \cdots \bigg) \\ &= p^r \cdot \bigg(1 + r \cdot T + \frac{r(r+1)}{2}T^2 + \cdots \bigg) \quad T := (1-p)e^t \end{align}\]식이 상당히 복잡합니다. 식을 간단하게 정리하기 위해서 $g(t) = (1-t)^{-r}$ 이라는 함수를 생각해보겠습니다. 이 함수를 테일러 급수를 이용하여 전개하면 위와 동일한 형태의 식이 나오게 됩니다.
\[\begin{align} g(t) &= g(0) + g^\prime(0) \cdot t + \frac{g^{\prime\prime}(0)}{2} \cdot t^2 + \cdots \\ &= 1 + r \cdot t + \frac{r(r+1)}{2} \cdot t^2 + \cdots \end{align}\]이를 이용하면 적률 생성 함수를 간단히 정리할 수 있게 됩니다.
\[M_Y(t) = p^r \cdot [1-(1-p)e^t]^{-r}\]이를 활용하여 음이항 분포 $NB(r,p)$ 의 기댓값과 분산을 구하면 아래와 같습니다.
\[\begin{align} E(Y) &= M_Y^\prime(0) = \frac{r(1-p)}{p} \\ Var(Y) &= M_Y^{\prime\prime}(0) - M_Y^\prime(0)^2 = \frac{r(1-p)}{p^2} \end{align}\]Geometric Distribution
기하 분포(Geometric distribution)는 음이항 분포의 특수한 형태입니다. 첫 번째 성공이 있을 때까지 몇 번의 실패가 있을 지를 구하는 문제이지요. 음이항 분포에서 성공 횟수를 나타내는 $r$ 이 1인 형태, 즉 $NB(1,p)$ 라고 할 수 있겠습니다. $r$ 이 1로 고정되기 때문에 파라미터는 오직 $p$ 하나가 됩니다. 따라서, 기하 분포는 $G(p)$ 또는 $Geo(p)$ 로 나타낼 수 있습니다.
확률 질량 함수와 적률 생성 함수도 음이항 분포의 것을 활용하여 구할 수 있습니다.
\[\begin{aligned} P_Y(y) &= p\cdot (1-p)^y \\ M_Y(t) &= \frac{p}{1-(1-p)e^t} \end{aligned}\]
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